数学・統計

数学 II の学習指導要領の解説は、バクテリアの増殖などの自然現象は指数関数で表されることが多い、と書いています。1 日に 1 回分裂するゾウリムシなら、1 匹が 2、4、8、16 匹と増え、t 日後には 2 の t 乗匹になります。

倍々で増えると、最後に一気に増えたように見えます。アメリカの教材 Nature Education の Scitable に、こんな問題があります。池のスイレンの葉が毎月 2 倍に増え、池の半分をおおうのに 3 年かかった。池の全部をおおうのは、あと何か月後でしょう。答えは、たったの 1 か月後です。

でも、実際の池や試験管では、場所や食べ物が足りなくなり、増え方はいつか止まります。その上限を環境収容力 K と呼びます。増える速さに (K − N) ÷ K をかけた式がロジスティック方程式で、試験管で育てたゾウリムシの数も、この S 字の曲線によく合います。

下の図のように、増える速さは数が K の半分のときにいちばん大きくなります。どこまで、どのくらいの速さで増えるかを見積もる考え方は、害虫の対策や、野生の生き物の数の管理にも使われます。

メンデルは修道院の庭でエンドウを育て、1865 年に結果を発表しました。丸い種子としわの種子の親からできた雑種を自家受粉させると、次の代の種子は丸 5,474 個・しわ 1,850 個で、比は 2.96 対 1 でした。

確率で考えると、理由が分かります。雑種は丸の遺伝子 A としわの遺伝子 a を 1 つずつ持ち、子にはどちらかが 2 分の 1 の確率で伝わります。しわになるのは aa の 4 分の 1 だけなので、丸としわは 3 対 1 になります。数学 A の「場合の数と確率」そのものです。

集団の中の遺伝子の割合を扱うのが、ハーディ・ワインベルグの法則です。1908 年、イギリスの数学者ハーディと、ドイツの医師ワインベルグが別々に示しました。純粋数学者として知られるハーディが、科学誌 Science に送った 1 ページほどの手紙でした。

身近な例が耳あかです。耳あかには湿型と乾型があり、湿型が顕性(優性)です。2006 年、長崎大学の新川詔夫さんたちは、型が ABCC11 という遺伝子の 1 文字の違いで決まることを突き止めました。日本人の 70〜80% は乾型です。乾型を 8 割とすると、乾型の遺伝子の割合は √0.8 で約 0.89、湿型の遺伝子は約 0.11 です。湿型の人のうち、湿型の遺伝子を 2 つ持つのは全体の約 1% だけで、湿型の人の 9 割以上は乾型の遺伝子も持っている計算になります。

DNA の配列は、A・T・G・C の 4 文字が長く並んだものです。国立遺伝学研究所(静岡県三島市)の DDBJ は、アメリカとヨーロッパのデータバンクと協力して、世界中の配列を集めて公開しています。DDBJ は、今日の生命科学ではコンピュータが実験器具と同じくらい必要だと説明しています。

配列を数えるのは、プログラミングの得意分野です。Python なら、配列の中の G の数を数える命令は count('G') と書くだけです。G と C の割合(GC 含量)が分かると、化学のページで紹介した、2 本の鎖の離れにくさの見当もつきます。

学び直しは、数学 I の「データの分析」で平均と分散を確かめるところから始めるのが近道です。次に数学 A の確率、数学 II の指数・対数、数学 B の「統計的な推測」へ進みます。情報 I で学ぶプログラミングも、生物学の実験道具の 1 つになります。

このサイトの高校の「数学」のページと、大学の「数学」のページもあわせて読んでみてください。生物学の「進化・多様性」のページでは、遺伝子の割合から進化を数える方法を紹介しています。