図 4 学ぶために必要な科目・学問学ぶために必要な科目 2

数学

物理学の基本法則は、数学の言葉で書かれています。揺れは微分方程式と複素数で、電気と磁気はベクトル解析で、原子の世界は行列と確率で表します。高校の数学 III・C や統計の単元が、物理学の教科書を読むための文法になります。

$大学のセミナー室で、裏ぶたを外した腕時計の中をルーペでのぞく学生、本を手に持って向きを変えながら回してみせる学生、山の形に積み上がる点のグラフを画面で指さす学生たち$

ひとことで言うと

地図記号が読めると、知らない町も歩ける

地図記号を知っていれば、初めて行く町でも、学校や郵便局の場所が分かります。物理学の数学も同じです。微分方程式やベクトルの記号が読めると、教科書の式から、まだ見たことのない現象の動きまで読み取れます。

物理の法則は、数学の言葉で書かれている

1623 年、ガリレオは著書『偽金鑑識官』で、宇宙という書物は数学の言葉で書かれ、その文字は三角形や円などの図形だと述べました。それから約 400 年たったいまも、物理学は同じ考え方で進んでいます。

日本学術会議の参照基準は、物理学の特徴として「基本法則は数学という言語で記述される」ことを挙げ、その多くが微分方程式の形だとしています。物理学で使う数学として、微分積分学・微分方程式・ベクトル解析・線形代数・統計学・複素関数論・フーリエ解析などを挙げています。

高校の数学は、そのどれにもつながっています。数学 III の微分は速度と加速度に、数学 C の複素数平面は揺れや波の計算に使います。数学 B の統計的な推測は、実験のデータを読む統計の入口です。

高校の単元の多くが、物理学の教科書を読むための文法になります。

図解高校の数学と物理学の授業

高校の数学

微分・積分運動方程式と微分方程式(力学)
ベクトルベクトル解析(電磁気学)
複素数平面揺れと波、量子力学の式
行列線形代数(量子力学)
確率・統計統計力学と、実験のデータ解析

微分方程式と複素数: 揺れの式を自分で解く

高校の物理では、単振動の周期 T = 2π√(m/k) を公式として学びます。大学では、運動方程式 m x″ = −kx(x″ は位置 x を時間で 2 回微分したもの)を、微分方程式として解きます。

物理学でよく使うのは、答えを x = e^(λt) の形と見当をつけて、式に代入する方法です。すると λ² = −k/m となり、λ は 2 乗するとマイナスになる数、つまり虚数の ±iω(ω = √(k/m))になります。ここで高校の複素数が、揺れの計算に自然に現れます。

続いて、オイラーの公式(e の iθ 乗 = cos θ + i sin θ)を使います。すると解は cos ωt と sin ωt の組み合わせになり、周期 2π/ω が出てきます。振り子も、振れ幅が小さいときは sin θ ≒ θ と近似すると、同じ形の式になります。近似して解ける形にするのも、物理学でよく使う数学の技です。

この揺れを利用した身近な道具が、クオーツ時計です。アメリカ国立標準技術研究所(NIST)によると、時計の水晶は多くの場合 1 秒に 32,768 回振動します。32,768 は 2 の 15 乗なので、2 で 15 回割ると、ちょうど 1 秒の刻みが作れます。

微分方程式と複素数がそろうと、揺れの公式を自分で導けます。

図解単振動の微分方程式を解く

入力ばねにつながれたおもりの運動方程式 m x″ = −kx

1x = e^(λt) と見当をつけて代入する
2λ² = −k/m から、λ = ±iω(ω = √(k/m))
3オイラーの公式で、解は cos ωt と sin ωt の組み合わせ

結果周期 2π/ω = 2π√(m/k) が、覚えなくても導ける

ベクトル解析と線形代数: 電磁気学と量子力学の言葉

1873 年にマクスウェルが発表した電磁気学の式は、20 個の変数を使った 20 個の式でした。1884 年ごろまでに、イギリスのヘヴィサイドはベクトルの記号を使い、3 つずつの式を 1 つにまとめました。いまの教科書の 4 本のマクスウェル方程式は、こうして形が整いました。

これを読むための数学が、ベクトル解析です。div(発散)は、ある点から電気の力の線がどれだけ湧き出しているかを表します。rot(回転)は、磁場がどれだけ渦を巻いているかを表します。数学 C のベクトルに、微分を組み合わせた道具です。

量子力学では、線形代数が主役になります。1925 年 6 月、花粉症の療養で北海のヘルゴラント島に来ていた 23 歳のハイゼンベルクは、原子の光を説明する新しい計算の規則を考えました。ボルンは、それが数学で使われてきた行列のかけ算だと気づきました。

行列のかけ算では、AB と BA が等しいとは限りません。量子力学では、位置と運動量の行列のかける順番による差が、ミクロの世界のふるまいを決めています。2025 年はハイゼンベルクの論文から 100 年にあたり、国連が定めた国際量子科学技術年でした。

ベクトル解析と線形代数は、電磁気学と量子力学を読むための言葉です。

図解電磁気学と量子力学の数学

ベクトル解析

電磁気学の 4 本の式を書く
div は湧き出し、rot は渦を表す
数学 C のベクトル + 微分

線形代数

量子力学の物理量を行列で表す
AB と BA が等しいとは限らない
数学 C の行列から大きく広がる

確率と統計: 「発見」と言える 5 シグマ

数学 B の「統計的な推測」では、正規分布と標準偏差を学びます。物理の実験では、同じ量を何度測っても、結果は少しずつばらつきます。大学の物理学実験では、測った値とあわせて、ばらつき(不確かさ)を見積もる方法を学びます。

正規分布では、平均から ±1σ(σ は標準偏差)の範囲に約 68%、±2σ の範囲に約 95% のデータが入ります。素粒子物理学で新しい粒子の「発見」と言うには、5σ という厳しい基準を使います。偶然のゆらぎで、それほど大きな信号が出る確率は約 350 万分の 1 です。

CERN によると、2012 年 7 月 4 日、ATLAS と CMS の 2 つの実験がこの 5σ の基準に届きました。こうして、ヒッグス粒子とみられる新しい粒子の発見が発表されました。膨大なデータから本物の信号を見分けるのは、統計の力です。

量子力学では、確率そのものが法則の中心にあります。ボルンは、粒子がどこで見つかるかは確率でしか言えない、と解釈しました。アインシュタインは 1926 年、ボルンへの手紙に「神はサイコロ遊びをしない」と書いて反対しました。それでも確率による解釈は量子力学の土台となり、ボルンは 1954 年にノーベル物理学賞を受けました。

確率と統計は、実験の結果を確かめる道具であり、量子力学の言葉でもあります。

クイズ数学と物理学のクイズ

答えを選ぶと、正解と解説が表示されます。

Q1素粒子物理学で「発見」と言える 5σ。偶然のゆらぎで起こる確率はおよそ?
Q2行列 A と B のかけ算で、AB と BA の関係として正しいのは?
Q3多くのクオーツ時計で、水晶が 1 秒に振動する回数は?

0 / 3 問に回答

苦手でも大丈夫: どこから学び直すか

物理学で使う数学は、微分・積分とベクトルが中心です。どちらも積み重ねの単元なので、つまずいた所まで戻るのが近道です。まず数学 II の三角関数と、微分・積分の考えを確かめてください。

次に、数学 III の微分法・積分法で、三角関数や指数関数の微分を身につけます。学習指導要領の解説も、数学 III の微分を、点の運動の速度と加速度に使うことを示しています。数学 C のベクトルと複素数平面、数学 B の統計的な推測もあわせて学ぶと、物理の式が読みやすくなります。

多くの大学では、1 年で微分積分と線形代数を、2 年ごろに微分方程式やベクトル解析を「物理数学」などの授業で学びます。科目の名前と時期は、大学によって異なります。物理の問題を数学の練習として解くと、両方の理解が深まります。

このサイトの高校の「数学」のページと、大学の「数学」のページもあわせて読んでみてください。数学科では、同じ微分積分や線形代数を、定義と証明から組み立て直します。

微分とベクトルがつながれば、物理学の教科書の式が読めるようになります。

図解学び直しのおすすめの順番

1数学 II三角関数、微分・積分の考え
2数学 III微分法・積分法、速度と加速度
3数学 Cベクトルと複素数平面
4数学 B統計的な推測(正規分布)

高校生のうちに試せること

本を回して、順番で結果が変わるのを確かめる
本を机に置き、縦の軸のまわりに 90 度回してから、横の軸のまわりに 90 度回しましょう。もとに戻して、順番を逆にして回すと、最後の本の向きが違います。回す順番で結果が変わるのは、行列のかけ算で AB と BA が違うのと同じしくみです。
電卓で sin θ ≒ θ を確かめる
スマートフォンの関数電卓を「ラジアン(rad)」にして、sin 0.1 と sin 0.5 を計算しましょう。0.0998… と 0.479… になり、角度が小さいほど sin θ と θ が近いことが分かります。振り子の式を近似で解くときの根拠です。
表計算で正規分布の「σ」を確かめる
表計算ソフトの NORM.S.DIST 関数を使い、「=NORM.S.DIST(1,TRUE)-NORM.S.DIST(-1,TRUE)」を計算しましょう。約 0.68 になり、平均から ±1σ に約 68% が入ることを確かめられます。1 を 2 や 5 に変えて、5σ の外側がどれだけ小さいかも見てみてください。