高 3: 数学 III・C で深める

数学 III は、数学に強い関心がある人や、将来数学が必要な分野に進む人のための科目です。今の学習指導要領で標準 3 単位になり、極限、微分法、積分法の 3 つを学びます。数学 II のあとに学ぶのが原則です。

極限では、数列や関数が限りなく近づく値を調べ、無限に続く足し算の和を求めます。微分法では、三角関数・指数関数・対数関数の微分や、積・商・合成関数の微分を学びます。積分法では、面積や体積、曲線の長さを求めます。自然対数の底 e も、数学 III で初めて登場します。

数学 C の平面上の曲線と複素数平面は、以前は数学 III で学んでいた内容です。放物線・楕円・双曲線、媒介変数や極座標による曲線の表し方、複素数を平面上の点として扱う方法を学びます。学年の割り振りは学校によって異なります。

極限でつまずく人が多いのは、「限りなく近づく」という言葉が、計算の答えとどう結びつくのかが見えにくいからです。具体的な図形で確かめると、無限の不思議さが手で触れるように分かります。

1904 年、スウェーデンの数学者コッホは、線分を 3 等分して真ん中に正三角形の 2 辺を立てる操作をくり返す曲線を考えました。正三角形の 3 辺に同じ操作を続けると、雪の結晶のような「コッホ雪片」ができます。1 回ごとに辺の数は 4 倍、辺の長さは 1/3 になるので、周の長さは 4/3 倍ずつ増え、限りなく大きくなります。

ところが、面積は限りなく大きくはなりません。元の三角形の面積を S とすると、付け足す面積は S/3、4S/27、16S/243 … と、公比 4/9 の等比数列になります。この無限等比級数の和は 3S/5 なので、面積は元の三角形の 8/5 倍で止まります。

無限に続く足し算でも、和が決まった値になることがある。これが分かると、極限は図形の性質を確かめる道具に変わります。学習指導要領の解説も、規則に基づいて作られる図形の面積の和などを、極限の題材に挙げています。

大学入学共通テストの数学は、2 つの試験に分かれています。令和 9 年度試験では、数学①の『数学 I、数学 A』と、数学②の『数学 II、数学 B、数学 C』が、どちらも 70 分・100 点です。数学 III は出題されません。

大学入試センターのサイトでは、過去 3 年分の試験問題が公開されています。70 分を計って 1 回分を解き、どの単元で時間を使ったかを記録すると、残りの数か月で何を復習すればよいかが見えてきます。

理工系の学部では、個別試験で数学 III まで出題する大学があり、答えまでの過程を記述する試験もあります。共通テストの対策と並行して、途中の式を人が読める形で書く習慣をつけておくと、どちらの試験でも力になります。下の図は、高 3 の 1 週間の例です。