高 1: 数学 I・A で土台をつくる

高校に入ると、数学は数学 I と数学 A の 2 つの科目に分かれます。数学 I は高校生全員が学ぶ科目で、標準は 3 単位です。数と式、図形と計量、二次関数、データの分析の 4 つを学びます。

この 4 つは、中学の「数と式」「図形」「関数」「データの活用」の 4 つの領域を引き継いでいます。中 3 の y = ax² は二次関数へ、三平方の定理は三角比へ、中 2 の箱ひげ図は分散や相関係数へとつながります。中学の数学の続きなので、つまずいたら中学の単元に戻れば大丈夫です。

数学 A は標準 2 単位で、図形の性質、場合の数と確率、数学と人間の活動の 3 つから、学校が選んで教えます。数学と人間の活動では、ユークリッドの互除法や二進法、数を使ったゲームやパズルも扱います。数学 A は、数学 I と同じ時期か、そのあとに学ぶのが原則です。

大学入学共通テストの『数学 I、数学 A』では、数学 A は図形の性質と場合の数と確率の 2 つから出題されます(令和 9 年度試験の出題方法)。

二次関数で最初に出会う山場は、グラフの頂点を求める「平方完成」です。式を y = a(x − p)² + q の形に直すと、グラフは y = ax² を横に p、縦に q だけずらした放物線だと分かります。頂点の座標 (p, q) が、最大や最小の答えになります。

下の例は、校舎の壁を 1 辺にして、長さ 20 m のロープで長方形の場所を囲む問題です。正方形にすれば広くなりそうに思えますが、答えは縦 5 m・横 10 m の長方形です。壁がロープ 1 本分の役目を果たすので、横に長いほうが得になります。

式を平方完成した瞬間に、答えがグラフの頂点として見えてきます。学習指導要領の解説は、コンピュータを使う学習も例に挙げています。y = ax² + bx + c の a、b、c を少しずつ変え、グラフがどう動くかを観察する学習です。

高 1 でつまずく人が多いのが、図形と計量の三角比です。sin・cos・tan という新しい記号が一度に出てきて、どの辺とどの辺の比なのかが混ざりやすいからです。

コツは、いつも直角三角形を描き、角 θ を左下、直角を右下に置いてから考えることです。30°・45°・60° は三角定規の形なので、この 3 つの角で辺の比を自分で描いて確かめると覚えやすくなります。慣れたら、正弦定理と余弦定理で、直角のない三角形にも広げます。

三角比が分かると、思いがけない発見もできます。学習指導要領の解説は、課題学習の例として、1 つの頂点に 3 つの直角が集まる三角錐を挙げています。直角をはさむ 3 つの面の面積を 2 乗して足すと、残りの面の面積の 2 乗に等しくなるのです。「四平方の定理」と呼ばれることもあります。

下の図は、3 本の辺の長さがどれも 1 の場合の確かめ方です。正三角形の面積を sin 60° で求めるところで、三角比が活躍します。

数学 I が週 3 時間、数学 A が週 2 時間なら、1 週間に数学の授業が 5 回ほどあります。単位数や時間割の組み方は学校によって異なります。下の図は、高 1 の 1 週間の例です。

数学 I には「課題学習」が位置付けられています。身の回りの題材から問いを立て、予想し、解いて、振り返る学習です。学習指導要領の解説は、黄金比を美しいと感じるかどうかをアンケートで確かめることや、指や拳を使って角度や距離をおおまかに測ることを例に挙げています。

授業の外でも挑戦できます。数学オリンピック財団の日本数学オリンピックは、大学教育を受けていない 20 歳未満なら応募できます(受験料が必要です)。試験の範囲に、微積分・確率統計・行列は含まれません。過去の問題は公式サイトで無料で見られるので、高 1 の数学からでも取り組めます。