数学の先生・研究者

2003 年、東京大学の入試に「円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ」という問題が出ました。「3.14… だから大きい」と書いても答えになりません。3.14 という値そのものを、自分の手で確かめる必要があるからです。

教えるときは、まず円の内側にぴったり入る正六角形から始めます。半径 1 の円なら、正六角形の周の長さは 6 です。円周 2π はそれより長いので、π > 3 が分かります。でも、これでは 3.05 に届きません。そこで、角を増やした正八角形を考えます。

正八角形の 1 辺は、中心から見ると 45 度の角をはさむ三角形の底辺です。数学 I の余弦定理で、1 辺の 2 乗は 1 + 1 − 2cos 45° = 2 − √2 になります。1 辺は約 0.765 で、8 辺の合計は約 6.12 です。円周はこれより長いので、π は 3.06 より大きく、3.05 をこえます。

江戸時代の日本でも、円周率は大きなテーマでした。国立国会図書館によると、1627 年の『塵劫記』は 3.16 を使っていました。その後、正確でないことが知られ、精密な値を計算する「円理」が発達しました。建部賢弘は、円周率を小数点以下 41 けたまで求めています。

三平方の定理には、図形を使った証明がたくさん知られています。一方、三角比を使う証明は、長いあいだ難しいと考えられてきました。三角比の公式の多くが三平方の定理を使って導かれるので、話が堂々めぐりになりやすいからです。

2022 年、アメリカのニューオーリンズの高校の数学コンテストで、三平方の定理の新しい証明を求めるボーナス問題が出されました。解いたのは、カルシア・ジョンソンさんとネキヤ・ジャクソンさんの 2 人だけでした。2 人は三角比を使った証明を、2023 年 3 月にアメリカ数学会の会合で発表しました。

2024 年 10 月には、2 人の論文が数学の学術誌に載りました。三角比を使った証明が全部で 10 通り示され、そのうち 9 つはまったく新しい証明だと、学術誌の出版社は紹介しています。使った道具は、高校で学ぶ三角比と図形の性質です。

日本でも、高校生が数学の研究を発表する場があります。大阪府立大手前高校が開く「マスフェスタ(全国数学生徒研究発表会)」には、北海道から沖縄県までの学校が参加してきました。2026 年 8 月には 18 回目が開かれています。