数学

数学 III では、sin x を微分すると cos x になることを学びます。θ が 0 に近いとき、sin θ と θ がほぼ等しいことも扱います。大学 1 年の微分積分学では、この「ほぼ等しい」を、いくらでも正確にしていきます。

そのための道具がテイラー展開です。sin x は、x − x³/6 + x⁵/120 − … という、足し算とかけ算だけの式で表せます。式の係数は、微分をくり返すと決まります。項を増やすほど、元の sin x に近づきます。

試しに sin 30° を計算します。30° を弧度法で表すと π/6 で、およそ 0.5236 です。最初の項だけなら 0.5236、2 項目まで使うと 0.4997、3 項目までで 0.5000 になります。三角比で覚えた sin 30° = 1/2 に、計算だけでたどり着けます。

この式は、1400 年ごろにインド南部のケーララで、マーダヴァが見つけていたと考えられています。ヨーロッパでは、1676 年ごろにニュートンが見つけ直しました。今はイギリスの数学者テイラーの名前をとって、テイラー展開と呼ばれています。

ある人が朝 6 時にふもとを出て、夕方 6 時に山頂に着きました。翌日は朝 6 時に山頂を出て、同じ道を通って夕方 6 時にふもとへ戻りました。歩く速さや休み方は自由です。2 日とも同じ時刻に同じ場所にいた瞬間は、必ずあるでしょうか。

答えは「必ずある」です。2 日分を 1 日に重ねて、登る人と下る人が同じ日に歩くと考えます。ふもとから登る人と山頂から下る人は、1 本の道の上で必ずすれ違います。すれ違った時刻と場所が答えです。

この理屈を支えるのが中間値の定理です。つながった(連続な)グラフは、途中の値を飛ばさずに必ず通る、という定理です。数学 III では関数の連続性を学び、グラフを見て直観的に理解します。1817 年、プラハのボルツァーノは、この定理を図に頼らない形で証明しました。

大学では、なぜ途中を飛ばさないのかを、実数の性質から確かめます。x² − 2 の値は、x = 1 で −1、x = 2 で 2 です。それでも分数(有理数)だけの数直線には、値が 0 になる点がありません。√2 は分数で表せないからです。数直線にすき間がないことが、定理の土台です。多くの大学では 2 年ごろの集合と位相で、「つながっている」をさらに一般の形で定義し直します。

数学 C では、空間のベクトルを (x, y, z) のように 3 つの数の組で表します。大きさは √(x² + y² + z²) で求めます。大学 1 年の線形代数学では、数の組を 4 個、5 個、100 個と増やしていきます。数が n 個なら、n 次元の空間です。

目に見えない 4 次元の立方体も、数えることはできます。正方形をずらして頂点を結ぶと立方体になり、頂点は 4 個から 8 個に増えます。同じように立方体を 4 つ目の向きへずらし、8 組の頂点を結びます。頂点は 16 個、辺はもとの 12 本 × 2 と、結んだ 8 本で 32 本です。

対角線の長さも計算できます。1 辺が 1 のとき、正方形の対角線は √2、立方体は √3 です。4 次元の立方体では √(1 + 1 + 1 + 1) で、ちょうど 2 になります。数学 C の大きさの式を、4 つの数に広げただけです。

たくさんの数を並べたデータも、高い次元のベクトルとして扱えます。5 教科のテストの点数は、5 次元のベクトルです。線形代数学では、次元がいくつでも同じように扱えるよう、ベクトルと行列の理論を組み立てます。