数学

経済学や工学では、数学は問題を解くための道具です。数学科では、数学そのものが学ぶ対象になります。高校で使ってきた公式も、「なぜ成り立つのか」を定義から確かめ直します。

日本学術会議の参照基準は、数学の対象は現実の世界にないため、実験では正しさを確かめられないと説明しています。そのため、公理や定義から、三段論法や背理法などの論理で結果を導きます。

参照基準は、数学全体の土台に集合と論理を置き、その上の基礎として線形代数学と微分積分学を挙げています。多くの大学の数学科では、1 年でこの 2 つを学びます。下の図は、高校の単元と大学の分野のつながりの例です。

数学 B では数列と漸化式を、数学 III では数列の極限を学びます。この 2 つがつながる例が、利息の計算です。1 年で元金が 2 倍になる、年利 100% の預金を考えます。

利息を半年ごとに半分ずつ付けると、1 年後は (1 + 1/2)² = 2.25 倍です。毎月 12 回に分けると約 2.613 倍、毎日 365 回なら約 2.715 倍です。回数を増やしても増え方は鈍り、2.71828… という数に近づきます。これが自然対数の底 e です。

この問題を 1683 年に調べたのが、スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイです。ベルヌーイは、この極限が 2 と 3 の間にあることを示しました。e という記号は、1731 年にオイラーが書いた手紙に初めて登場します。

高校では「限りなく近づく」を直感で扱います。大学 1 年の微分積分学では、本当に 1 つの値に近づくのかを証明します。カギは、「増え続けても、ある値を超えない数列は必ず収束する」という実数の性質です。高校で当たり前に使ってきた事実を、ここで初めて言葉にして確かめます。

参照基準は、数学では基礎が分からないと、その上に築かれる考え方も分からないと述べています。そのため、具体例を作り、例題を解きながら積み重ねることが必要だとしています。つまずいた単元まで戻るのが、いちばんの近道です。

数学科を目指すなら、まず数学 I の「集合と命題」で、「ならば」や対偶の使い方を確かめてください。次に数学 B の数列と数学的帰納法、数学 III の極限、数学 C のベクトルと複素数平面へ進みます。大学 1 年の授業は、これらの単元とつながるところから始まります。

大学の教科書は、高校の教科書より説明が短く、1 行ずつ確かめながら読み進めます。分からないときは、具体的な数を入れて確かめたり、図をかいたりすると、意味が見えてきます。

入試で課される数学の範囲は、大学や入試の方式によって異なります。理工系の学部の個別試験では、数学 III を出題範囲に含める大学が多くあります。このサイトの高校の「数学」のページもあわせて読むと、高校の単元の全体像がつかめます。