2 年: 抽象の世界に入る

2 年になると、数学科ならではの科目が本格的に始まります。名古屋大学では、理学部の学生が 2 年で数理学科に進みます。集合と写像、線形空間と線形写像、位相空間の基礎、行列の標準形、多変数関数の微分・積分などを学びます。

千葉大学の数学・情報数理学科のカリキュラム・ツリーでも、位相空間論や代数学 I・II、統計学が 2 年ごろの科目として示されています。群・環といった代数学の入門は、2 年に置く大学も、名古屋大学のように 3 年に置く大学もあります。

中心になるのは、集合と位相です。3 年以降に学ぶ多様体や関数解析、確率論は、どれも集合と位相の言葉で書かれています。2 年は、この共通の言葉の文法を覚える時期です。

2 年で多くの人が戸惑うのが、抽象化です。たとえば位相の授業では、「開集合」と呼ぶ集まりの性質だけから、「近い」や「連続」を定義し直します。1 年の ε-δ 論法は距離を使いましたが、位相では距離がなくても連続を語れるようになります。

定義を眺めているだけでは、意味はなかなかつかめません。東北大学の数学科の学生アンケート(2023 年度)には、普段から心がけていることが並んでいます。「具体例を作る」「自分なりに言い換えて定理やその証明を理解する」などです。何を仮定しているのかを明確にして議論する、という声もありました。

定義に慣れると、景色が変わります。東北大学の先輩の 1 人は、数列を「数の並んだもの」と思っていました。それが「自然数を入力して実数を出力する関数」と定義できると知ったとき、目からうろこが落ちたそうです。定義に慣れれば、抽象的な概念にも実感が持てるようになります。

抽象的な数学では、1 つの定理が分かるまでに何日もかかることがあります。東北大学のアンケートには、何時間考えても思いつかなかったことが、一度寝て起きたらすぐに思いつくことがよくある、という声もありました。

友だちとの教え合いも力になります。同じアンケートでは、代数が得意で幾何が苦手な学生が、反対に幾何が得意な友だちと、授業のあとに内容を解説し合った経験を挙げています。

2 年の内容は、その先もずっと使います。名古屋大学の大学院生は、大学院の入試の筆記試験が主に 2 年までの学習内容から作られていると紹介しています。2 年で身につけた道具が、3・4 年の専門と大学院への入口になります。