3 年: 分野を深める

3 年になると、代数学・幾何学・解析学・確率論の各分野で、より専門的な科目が並びます。東京理科大学の数学科の履修モデルでは、3 年に「体とガロワ理論」「微分幾何学」「積分論」「関数論」「確率論」などが置かれています。

代数学では、群・環・体の理論を使って方程式を調べます。古代ギリシャから問われてきた問題に、「定規とコンパスで角を 3 等分できるか」があります。日本学術会議の参照基準によると、19 世紀にこれがガロア群の問題だと分かり、ようやく解けました。ガロア群は、方程式の解を入れ替える操作の群です。答えは「一般にはできない」でした。

参照基準は、選んだ専門の分野は孤立しておらず、ほかの多くの分野と関係しているので、できるだけ多くの分野の講義に出て視野を広げることを勧めています。3 年は選べる科目が増え、自分がどの分野に心ひかれるかが見えてくる時期でもあります。

高校で学ぶ積分は、グラフの下を細い長方形に切って足し合わせる考え方で、19 世紀にリーマンが整えたものです。多くの関数ではこれで十分ですが、扱えない関数もあります。

たとえば、x が分数(有理数)なら 1、そうでなければ 0 になる関数を考えます。0 から 1 の範囲をどんなに細かく区切っても、1 になる点と 0 になる点が混ざり、長方形の高さが決まりません。リーマンの積分では、この関数の面積は決められないのです。

フランスのルベーグは、1902 年に博士号を得た研究で、新しい積分を考えました。横軸を区切る代わりに、関数の値ごとに分け、その値をとる点の集まりの「大きさ(測度)」を測ります。この考え方では、先ほどの関数の積分は 0 になります。

ルベーグ自身は、借金を払う場面にたとえています。ポケットのお札や硬貨を見つけた順に渡すのがリーマンの積分、全部取り出して同じ額ごとにまとめてから渡すのが自分の積分だ、というものです。測度の理論は、のちに確率論の土台としても大きな意味をもちました。

3 年の終わりごろには、4 年で所属するセミナー(研究室)を考え始めます。東北大学の数学科では、4 年から代数学・幾何学・解析学・確率論と応用数学などの専門分野に分かれ、1 年間かけて先生や仲間と欧文の専門書を読み込みます。

選ぶときの手がかりは、3 年の講義で「もっと知りたい」と感じた分野です。気になる先生の講義に出たり、4 年生の先輩に、セミナーで読んでいる本や進め方を聞いたりすると、4 年の 1 年間を想像しやすくなります。

大学院に進むか、先生になるか、企業で働くかを考え始めるのもこの時期です。東北大学の数学科の案内(2022 年)では、大学院の入試は 4 年の 8 月です。3 年のうちに情報を集めておくと、4 年の春から慌てずに済みます。