1 年: 基礎をかためる

大学の数学では、答えの数字よりも、なぜそうなるかを示す証明が主役になります。最初に出会う代表的な方法の 1 つが背理法です。示したいことが成り立たないと仮定して、そこから矛盾が出ることを確かめます。

下の図は、√2 が分数で表せない(無理数である)ことの証明です。高校の教科書にも背理法の例として出てくる証明ですが、大学では「奇数の 2 乗は奇数」のような途中の 1 行にも、理由を言えることが求められます。

1 行ずつ根拠を確かめていくと、「なんとなく分かった」が「人に説明できる」に変わります。同じ形の証明は √3 でも通りますが、√4 = 2 ではどこかで必ず止まります。どの行で止まるかを探すと、証明の仕組みがよく見えてきます。

数学科の時間割には、講義とは別に「演習」の時間があります。参照基準は、演習問題を前もって自分の力で解いてみることで、講義で学んだことの本質が見えてくると説明しています。

進め方は授業によって違います。線形代数を題材にした東京大学の演習(2010 年度冬学期)では、問題を黒板の前で発表する形で解きました。1 人 2 回以上、1 回 10 分ほど発表する決まりで、友だちと 2 人で分担してもよいとされていました。

黒板の前に立つと、ノートでは分かったつもりだった所が、うまく説明できないことに気づきます。先生や TA(ティーチング・アシスタント)の質問に答えて直していくうちに、自分の証明を、人に伝わる形に整える力がついていきます。

下の図は、数学科の 1 年生の 1 週間の例です。英語や教養の科目も並ぶので、空きコマや週末に演習の予習・復習をする人が多くなります。参照基準は、講義に出るだけで理解できることはまれで、予習・復習が欠かせないとしています。

1 年で多くの人がつまずくのは、ε-δ 論法です。「どんな ε に対しても、ある δ がある」の順番が入れ替わると、意味がまったく変わってしまいます。最初は文の形をそのまま書き写し、ε に 0.1 や 0.01 を入れて試すと、何を求められているかが見えてきます。

もう 1 つの壁は、「当たり前」に見えることの証明です。高校では使ってよかった性質を、大学では 1 つずつ確かめます。遠回りに見えますが、2 年からの抽象的な数学では、この確かめ方そのものが道具になります。

分からない点は、早めに聞くのが近道です。名古屋大学の数学教室には、数学者ヒルベルトにちなんだ「カフェ・ダヴィッド」があります。コーヒーを飲みながら、学部生・大学院生・教員が気軽に質問や議論をする場所で、大学院生の TA が手伝うオフィスアワーも開かれています。

分からないと言える人ほど、数学は伸びます。同じところで引っかかっている人は、たいてい教室にほかにもいます。