数と式・関数

数学 I の二次関数は、x の 2 乗を含む式で表される関数です。グラフは放物線と呼ばれる、左右対称の曲線になります。空気の抵抗を考えなければ、投げたボールや噴水の水は、この放物線を描いて飛びます。

たとえば、ボールを秒速 19.6 m(時速約 70 km)で真上に投げるとします。t 秒後の高さは 19.6t − 4.9t² m です。この式を平方完成で −4.9(t − 2)² + 19.6 の形に直すと、2 秒後に最高点の 19.6 m に届くことが分かります。

二次関数は、ブレーキの効き方にも表れます。学習指導要領の解説では、自転車の制動距離が速さの 2 乗に比例する例が取り上げられています。速さが 2 倍になると、ブレーキが効き始めてから止まるまでの距離は 4 倍になります。スピードの出し過ぎが危ない理由を、式で説明できるのです。

二次関数を学ぶと、「いちばん高い」「いちばん安い」といった最大・最小を、計算で求められるようになります。物理の運動の計算や、売上がいちばん多くなる値段を考える経済の問題にも、同じ考え方が使われます。

数学 I の三角比は、直角三角形の辺の比で角の大きさを表します。数学 II では、これを 360 度より大きな角や負の角にも広げ、三角関数として学びます。回る動きや、同じ形をくり返す波を表すのが得意な関数です。

直径 100 m の観覧車で、ゴンドラがいちばん下から θ 度回ったとします。いちばん下からの高さは 50 − 50 cos θ m と表せます。グラフにすると、なめらかな山と谷が同じ形でくり返す波になります。

音も波です。音の高さは、空気が 1 秒間に何回振動するかで決まります。ラの音を 440 Hz(1 秒に 440 回)とする決め方は、1939 年のロンドンの国際会議から国際的な標準になりました。日本では 1948 年に文部省(当時)が採用しています。

ここで指数も登場します。1 オクターブ上のラは、2 倍の 880 Hz です。ピアノは、この間を等しい比の 12 の半音に分ける平均律で調律されています。半音 1 つで振動数は 2 の 12 乗根倍、約 1.0595 倍になり、12 回かけるとちょうど 2 倍になります。

数学 B の数列では、数の並び方の決まりを調べます。前の項から次の項を決める式を、漸化式と呼びます。学習指導要領の解説では、漸化式を学ぶ題材の例に「ハノイの塔」と「複利計算」が挙げられています。

ハノイの塔は、1883 年にフランスの数学者リュカが発表したパズルです。3 本の棒の 1 本に、大きさの違う円盤が大きい順に積んであります。円盤を 1 枚ずつ動かし、小さい円盤の上に大きい円盤を置かないようにして、全部を別の棒へ移します。

円盤を 1 枚増やしたときの手数は、上の山をいったんよけて、いちばん下の 1 枚を動かし、山を戻せば求まります。「(n + 1) 枚の手数 = 2 × (n 枚の手数) + 1」という漸化式です。1 枚なら 1 手、2 枚は 3 手、3 枚は 7 手と続き、n 枚では 2 の n 乗 − 1 手になります。

パズルには、寺院の僧たちが 64 枚の金の円盤を移し続けている、という伝説が添えられていました。64 枚の手数は 2 の 64 乗 − 1 で、約 1,800 京回です。1 秒に 1 手動かしても、約 5,800 億年かかります。