図形とベクトル

数学 II の「図形と方程式」では、点を座標で表し、直線や円を式で表します。この考え方の出発点の 1 つが、フランスのデカルトが 1637 年に『方法序説』の付録として出した『幾何学』です。代数の計算を図形の問題に使う方法を示し、座標を使う幾何学のもとになりました。

この考え方は、ゲームの当たり判定にも使われます。方法の 1 つは、キャラクターや弾を円で囲み、2 つの円が重なっているかを調べることです。2 つの中心の距離が、半径の和より小さければ「当たり」になります。

中心の距離は、2 点間の距離の公式(三平方の定理)で求めます。コンピュータで計算するときは、ルートを計算せずに、距離の 2 乗と半径の和の 2 乗を比べることもできます。画面を描き直すたびにくり返す計算なので、手間を少しでも減らす工夫が生きます。

学習指導要領の解説では、数学 A で座標の考え方を扱うときに、GPS やコンピュータグラフィックスの話題を取り上げる例も示されています。位置を数で表すことが、身近な技術を支えています。

数学 C のベクトルは、向きと大きさをもつ量です。矢印で表し、座標では (3, 4) のように成分で書きます。速さと向きをまとめた速度や、物を押す力は、ベクトルで表すのがぴったりです。

ゲームでは、画面を描き直すたびに、キャラクターの位置に速度のベクトルを足して動かします。右へ (1, 0)、上へ (0, 1) と動くキャラクターが右上へ進むと、足したベクトルは (1, 1) です。その長さは √2、約 1.41 なので、そのままでは斜めだけ 4 割ほど速くなってしまいます。そこで、向きは変えずに長さを 1 に直してから使います。

ベクトルの内積を使うと、向きの関係も分かります。キャラクターの向いている方向と、敵がいる方向のベクトルの内積が正なら、2 つの向きの間の角は 90 度より小さく、敵は前のほうにいます。負なら後ろです。見えている敵だけに反応させる動きを、この計算で作れます。

ベクトルは、物理の力や速度の計算、建物にかかる力の計算、AI がデータを扱う計算にも使われます。数学 C で空間のベクトルまで学ぶと、3D の世界の位置や向きも同じように扱えます。

数学 II で学ぶ複素数は、2 乗すると −1 になる数 i を使って、a + bi と表す数です。数学 C の複素数平面では、a + bi を座標 (a, b) の点として平面に並べます。すると、複素数のかけ算が、図形の回転として見えてきます。

たとえば 3 + 2i に i をかけると、i × i = −1 なので −2 + 3i になります。点 (3, 2) が点 (−2, 3) に移り、原点のまわりにちょうど 90 度回っています。i を 4 回かけると 1 周して、元の点に戻ります。

一般に、cos θ + i sin θ をかけると、点は原点のまわりに θ だけ回ります。この回転を n 回くり返す計算を表すのが、ド・モアブルの定理です。60 度の回転を 6 回くり返すと元に戻り、途中の 6 つの点は正六角形の頂点に並びます。

多くの大学では、1 年生でベクトルや回転の計算を線形代数という科目にまとめて学びます。複素数は、物理学の波や電気回路の交流の計算にも欠かせません。3D のゲームや CG、ロボットの腕の動き、地図や測量の計算を受け持つ仕事に、図形とベクトルの力がそのまま生きます。