代数学

代数学では、数だけでなく「操作」も計算の対象にします。正三角形の板を、もとの枠にぴったり収まるように動かす方法は 6 通りです。120 度ずつの回転が 3 通り(動かさないことも含む)、裏返しが 3 通りあります。

6 通りのどれか 2 つを続けて行っても、結果はやはり 6 通りのどれかになります。どの操作にも、元に戻す操作があります。こうした性質をもつ操作の集まりを群と呼びます。

ルービックキューブの面を回す操作も群になります。色の並び方は約 4,325 京通りです。2010 年、研究者たちはグーグルが提供したコンピュータで計算を分担しました。そして、どんな崩し方でも 20 手以内(180 度回しも 1 手と数える)でそろえられることを証明しました。キューブの対称性を使って、調べる場合の数を大きく減らしたからこそできた計算です。

群は、雪の結晶や壁紙の模様の対称性も表します。平面をすき間なく埋めるくり返し模様は、対称性の種類で分けると 17 種類しかないことが、19 世紀の終わりに証明されました。化学では分子の形の分類に、物理学では素粒子の理論にも群が使われています。

1637 年ごろ、フランスのフェルマーは、古代ギリシャの数学書『算術』の余白に書き込みをしました。「n が 3 以上のとき、x の n 乗 + y の n 乗 = z の n 乗をみたす正の整数はない。驚くべき証明を見つけたが、余白が狭すぎて書けない」。このフェルマーの最終定理は、その後 350 年以上、だれにも証明できませんでした。

証明の鍵になったのは、日本の数学者の研究です。1955 年に谷山豊が示した問いをもとに、志村五郎が形を整えたのが「谷山・志村予想」です。1980 年代、この予想が正しければフェルマーの最終定理も正しいことが分かりました。イギリスのワイルズは 7 年ほどひそかにこの予想に取り組み、教え子だったテイラーの協力も得て、1995 年に証明を発表しました。

整数の問題には、まだ解かれていないものもたくさんあります。素数の並び方に関わる「リーマン予想」は 1859 年に出された問題です。最初の 10 兆個の場合で成り立つことが計算で確かめられていますが、証明はありません。クレイ数学研究所は、この問題に 100 万ドルの懸賞金をかけています。

大学の代数学では、群・環・体といった言葉の定義から始め、定理を 1 つずつ証明して積み上げます。抽象的に見えますが、小さな具体例を手で計算すると、ぐっと分かりやすくなります。暗号やセキュリティの研究、ソフトウェアの開発、数学の先生など、代数学で鍛えた考える力を生かせる仕事はたくさんあります。