解析学

古代ギリシャのゼノンは、「足の速いアキレスも、先を行く亀には追いつけない」という話を残しました。アキレスが亀のいた場所に着くと、亀は少し先に進んでいる。これが限りなくくり返されるから、という理屈です。実際には追いつけるのに、どこがおかしいのでしょうか。

鍵は、限りなく続く足し算でも、和が決まった値になることがある点です。1/2 + 1/4 + 1/8 + … と半分ずつ足していくと、和は 1 に限りなく近づきます。同じ考え方で、0.999… と 9 が限りなく続く数は、ちょうど 1 に等しいことが示せます。

円周率も、極限の考え方で求められます。紀元前 3 世紀、アルキメデスは円の内側と外側に正 96 角形をかきました。そして、円周率が 3 と 10/71 より大きく、3 と 1/7 より小さいことを示しました。角の数を増やすほど、正多角形のまわりの長さは円周に近づきます。

大学の 1 年生では、「限りなく近づく」をあいまいさなしに言い表す ε-δ 論法を学びます。最初はとまどう人が多い考え方ですが、ここを越えると、高校で使ってきた微分積分の公式がなぜ成り立つのかが分かるようになります。

微分方程式は、「いまの状態から、次の瞬間にどう変わるか」というルールを表す式です。このルールを解くと、先の時刻の状態を計算できます。

身近な例が、冷めていく紅茶です。熱い飲み物が冷める速さは、室温との温度差にほぼ比例します。このルールを解くと、温度差が一定の時間ごとに同じ割合で小さくなっていくことが分かります。

惑星の動きも微分方程式で計算できます。1846 年、フランスのルヴェリエは、天王星の動きのずれから、その外側にある未知の惑星の位置を計算で予測しました。ベルリン天文台のガレがその方向を望遠鏡で探すと、予測した位置から 1 度以内のところで海王星が見つかりました。紙と鉛筆の計算が、新しい惑星を見つけたのです。

ばねや振り子の揺れ、電気回路の電流、感染症の広がり、人口の増え方も、微分方程式で表されます。1 つの式の形が、まったく違う現象に当てはまることがあるのも、数学の面白さです。

2 乗すると −1 になる数 i(虚数単位)は、高校の数学 II で登場します。大学では、i を含む複素数を入力とする関数を調べる複素関数論を学びます。電気回路の交流の計算や、量子力学の方程式にも複素数が欠かせません。

オイラーが 18 世紀に見つけた式から、e の iπ 乗に 1 を足すと 0 になる、という関係が導かれます。数学で大切な e、i、π、1、0 の 5 つの数が 1 つの式に収まることから、「最も美しい式」と呼ばれることもあります。日本では岡潔が、複素数の変数を 2 つ以上もつ関数の理論で大きな業績を挙げ、1960 年に文化勲章を受けました。

解析学にも未解決の問題があります。水や空気の流れを表すナビエ・ストークス方程式は、天気の予測や飛行機の設計に使われていますが、どんな場合にもきちんとした解があるのかは分かっていません。クレイ数学研究所が 100 万ドルの懸賞金をかけた問題の 1 つです。

多くの大学では、1 年生で微分積分を学び、2〜3 年生で微分方程式や複素関数論、フーリエ解析に進みます。解析学の知識は、気象や金融の数理モデル、音声や画像の処理、ものづくりのシミュレーションなどの仕事に生かせます。