幾何学

中学校で学ぶとおり、平面の三角形の内角の和は 180 度です。ところが地球の表面では違います。北極から経線に沿って赤道まで下り、赤道を 4 分の 1 周してから北極に戻ると、3 つの角がすべて 90 度の三角形ができます。内角の和は 270 度です。

19 世紀には、平行線についての前提を変えても、矛盾のない幾何学が作れることが分かりました。これを非ユークリッド幾何学と呼びます。長距離の飛行機の航路が、平らな地図の上で弓なりに曲がって見えるのは、地球の上での最短の道に近い道を通るからです。

ガウスは 1827 年、曲面の曲がり具合が、面の上で長さを測るだけで分かることを証明しました。ピザの一切れの外側を少し丸めて持つと、先が垂れなくなるのもこの定理で説明できます。伸び縮みしない面は、一方向に曲げると、もう一方向には曲がらなくなるからです。

日本でも、江戸時代に和算が栄えました。図形の問題を絵馬に書いて神社や寺に奉納する「算額」が広まり、いまも約 1,000 件が残っています。

トポロジー(位相幾何学)は、伸ばしたり縮めたりしても変わらない性質を調べる分野です。ちぎったり穴をあけたりしなければ、取っ手つきのマグカップはドーナツに変形できます。どちらも穴が 1 つだからです。トポロジーでは、この 2 つを同じ形とみなします。

メビウスの帯は、細長い紙を 1 回ひねって両端を貼り合わせた輪です。1858 年にドイツの数学者メビウスらが調べました。表と裏の区別がなく、真ん中に線を引いていくと、紙の両面を通って元の場所に戻ります。真ん中で縦に切っても 2 つに分かれず、長い 1 つの輪になります。

多面体にも、つながり方で決まる関係があります。頂点の数から辺の数を引き、面の数を足すと、穴のない多面体なら必ず 2 になります。これをオイラーの多面体定理と呼びます。サイコロの形なら 8 − 12 + 6 = 2 です。

地球は丸いのに、私たちのまわりの地面は平らに見えます。このように、小さな範囲で見ると平らな空間と同じに見える図形を多様体と呼びます。球やドーナツの表面は 2 次元の多様体で、私たちの住む宇宙も 3 次元の多様体と考えられます。

1904 年、フランスのポアンカレは、3 次元の多様体について 1 つの問いを出しました。果てがなく大きさが限られた宇宙で、ロープをどこに 1 周させても手元にたぐり寄せられるなら、その宇宙は球と同じ形(3 次元の球面)と言えるのか。このポアンカレ予想は、約 100 年間だれにも解けませんでした。

2002 年から 2003 年にかけて、ロシアのペレルマンがインターネット上で論文を公開し、この予想を証明しました。2000 年にクレイ数学研究所が 100 万ドルの懸賞金をかけた 7 つの問題のうち、解かれたのはいまもポアンカレ予想だけです。ペレルマンは、2006 年のフィールズ賞も懸賞金も辞退しました。

フィールズ賞は、原則として 40 歳未満の数学者に 4 年ごとに贈られる賞です。日本からは小平邦彦(1954 年)、広中平祐(1970 年)、森重文(1990 年)が受けています。3 人とも、図形を式で表して調べる幾何学(代数幾何学や複素多様体の理論)で業績を挙げました。