応用: 応用数理

最適化は、限られた条件の中で、費用をいちばん小さく、あるいは利益をいちばん大きくする選び方を探す分野です。配送のトラックが回る順番、工場の生産計画、病院の勤務表、学校の時間割づくりなども、最適化の問題として表せます。

代表的な方法が線形計画法です。1947 年にアメリカのダンツィクが、たくさんの変数をもつ問題を効率よく解く「単体法(シンプレックス法)」を考えました。資源の最適な配分の研究では、旧ソ連のカントロビッチらが 1975 年にノーベル経済学賞を受けています。

考え方の入口は、高校の数学 II で学ぶ「不等式の表す領域」です。文化祭でクッキーとマフィンを作るとき、小麦粉とバターの量に限りがあれば、作れる個数の組み合わせはグラフの上の領域になります。売上がいちばん大きくなる組み合わせは、その領域の角のどこかに必ずあります。

符号理論は、データに少しだけ余分な情報を付けて、読みまちがいを見つけたり直したりする方法を研究します。身近な例が、お菓子や文房具に印刷された 13 けたのバーコード(JAN コード)です。最後の 1 けたは「チェックデジット」と呼ばれ、ほかの 12 けたから計算で決まります。

レジで読み取ったとき、計算が合わなければ読みまちがいだと分かります。1 けただけまちがえた場合は、必ず見つけられるしくみです。CD に少し傷があっても音楽が途切れずに再生できるのも、まちがいを直せる符号のおかげです。

暗号の世界では、新しい課題が生まれています。いま広く使われている RSA 暗号などは、大きな数の素因数分解が難しいことを安全の根拠にしています。ところが 1994 年、ショアが、量子コンピュータが実用化されれば素因数分解を速く解けることを示しました。

そこでアメリカの国立標準技術研究所(NIST)は、世界から集まった 82 の方式を 8 年かけて審査しました。そして 2024 年 8 月、量子コンピュータでも解読が難しいとされる暗号の標準を 3 つ発表しました。そのうち 2 つは、点が規則正しく並んだ格子の上の難しい問題を土台にしています。

保険料は、病気や事故がどれくらいの確率で起きるかを見積もって決めます。その土台になるのが、年齢ごとに 1 年間で亡くなる人の割合をまとめた生命表です。1693 年には、ハレー彗星で知られる天文学者ハレーが、ブレスラウ(現在のポーランドのブロツワフ)の記録から生命表を作りました。いまは、確率・統計を使って保険や年金の数字を計算する専門職、アクチュアリーが活躍しています。

金融でも数学が使われています。1973 年に発表されたブラック・ショールズの式は、株価の偶然の動きを確率で表し、オプションという金融商品の値段を計算する方法を示しました。1997 年には、この研究に関わったマートンとショールズにノーベル経済学賞が贈られています。

数理モデルは、渋滞のような身近な現象も説明します。2008 年、名古屋大学や東京大学などの研究者が、ある実験の結果を発表しました。1 周 230 m の円形のコースに 22 台の車を並べ、運転手に時速 30 km ほどで走ってもらう実験です。合流や坂がないのに、少しの速度のゆらぎが広がって、やがて渋滞が生まれました。渋滞のかたまりは、高速道路で観測されるのと同じく、時速約 20 km で後ろへ進んでいきました。

応用数理を学んだ人は、メーカーや IT 企業の研究開発、金融機関や保険会社、気象や交通に関わる研究機関などで、数学を道具に問題を解く仕事をしています。